您好,今天芳芳来为大家解答以上的问题。椭圆面积公式，椭圆定律相信很多小伙伴还不知道,现在让我们一起来看看吧！
1、第一定律的证明[2] 设定这样，角速度是对时间微分和对角度微分有如下关系：根据上述关系，径向距离 对时间的导数为：再求一次导数：代入径向运动方程，将此方程除以，则可得到一个简单的常系数非齐次线性全微分方程来描述行星轨道：为了解这个微分方程，先列出一个特解再求解剩余的常系数齐次线性全微分方程，它的解为这里，与是常数。
2、合并特解和与齐次方程解，可以得到通解选择坐标轴，让。
3、代回，其中，是离心率。
4、这是圆锥曲线的极坐标方程，坐标系的原点是圆锥曲线的焦点之一。
5、假若，则所描述的是椭圆轨道。
6、这证明了开普勒第一定律。
7、[3] 第二定律的证明[2] 开普勒第二定律是这么说的：在相等的时间内，行星与恒星开普勒定律的连线扫过的面积相等。
8、O为恒星，直线AC为行星不受引力时的轨迹。
9、设行星从A到B、从B到C所用的时间间隔Δt相等，A处的时刻为t1，B为t2，C为t3。
10、假设行星不受O的引力作用，那么这时扫过的面积SΔABO和SΔBCO相等（等底同高）。
11、行星受到引力作用了，因为引力的方向时刻指向恒星，所以在从t1到t3这段时间里，行星所受的引力的方向的总效果应该沿着BO方向（这需要一点向量的知识）。
12、因此，t3时刻行星的位置C’应该由两个向量相加而得到：向量AC+向量CC’（作CC’平行于BO，因此沿BO方向的向量等价于CC’）。
13、这样，SΔBCO=SΔBC’O(同底等高)。
14、因此，SΔBC’O=SΔABO。
15、因为Δt是任取的，所以在相等的时间内，行星与恒星的连线扫过的面积相等。
16、[4] 第三定律的证明[2] 在图中，A，B分别为行星运动的近日点和远日点，以和分别表示行星在该点的速度，由于速度沿轨道切线方向，可见和的方向均与此椭圆的长轴垂直，则行星在此两点时对应的面积速度分别为……………………………………{1}根据开普勒第二定律，应有，因此得……………………………………………{2}行星运动的总机械能E等于其动能与势能之和，则当他经过近日点和远日点时，其机械能应分别为…………{3}根据机械能守恒，应有，故得……………………{4}由{2}{4}两式可解得………………………………{5}由{5}式和{1}式得面积速度为椭圆的面积为,则得此行星运动周期为…………………………{6}将{6}式两边平方，便得注：是半长轴，是半短轴，是半焦距。
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